Question

已知函數(shù)f(x)=|2x+

a2+2a

x

-4a|，若f（x）在（0，+∞）上存在極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

a＞2

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)y=x+

a

x

的單調(diào)性解題，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y=x+

a

x

在(0，

a

)遞減，在(

a

，+∞)遞增，則函數(shù)在x=

a

處取得極小值，要使f（x）在（0，+∞）上存在極大值點(diǎn)，則只需極小值小于0即可．

解答：解：設(shè)g(x)=2x+

a2+2a

x

-4a=2(x+

a2+2a 2

x

)-4a，要想使函數(shù)有極值，則有a²+2a＞0，此時(shí)a＞0或a＜-2．
此時(shí)函數(shù)g（x）在

a2+2a 2

取得極小值，此時(shí)最小值為g(x)=2x+

a2+2a

x

-4a≥2

2x? a2+2a x

-4a=2

2(a2+2a)

-4a，
所以當(dāng)極小值2

2(a2+2a)

-4a＜0時(shí)，加上絕對(duì)值極小值變?yōu)闃O大值，由2

2(a2+2a)

-4a＜0解得a＞2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞2．
故答案為：a＞2

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及基本不等式的應(yīng)用．對(duì)應(yīng)函數(shù)y=x+

a

x

的單調(diào)性要求掌握，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y=x+

a

x

在(0，

a

)遞減，在(

a

，+∞)遞增，則函數(shù)在x=

a

處取得極小值，要熟練掌握其應(yīng)用．