Question

等差數列{a_n}中，a₁=23，公差d為整數，若a₆＞0，a₇＜0．（1）求公差d的值；（2）求通項公式a_n；（3）求前n項和S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式化簡已知兩不等式的左邊，并將a₁的值代入，得到關于d的兩個不等式，組成不等式組，求出不等式組的解集，得到d的范圍，找出取值范圍中的整數，即可得到d的值；
（2）由a₁及求出的d，寫出等差數列的通項公式即可；
（3）由a₁及求出的d，寫出等差數列的前n項和S_n，整理后得到S_n與n成二次函數關系，配方后得到二次函數的頂點式，再根據n為正整數，即可得到S_n取得最大值時n的值，進而求出此時前n項和S_n的最大值．

解答：解：（1）∵等差數列{a_n}中，a₁=23，且a₆=a₁+5d＞0，a₇=a₁+6d＜0，
∴23+5d＞0，且23+6d＜0，
解得：-

23

5

＜d＜-

23

6

，又d為整數，
∴d=-4；
（2）∵a₁=23，d=-4，
∴通項公式a_n=a₁+（n-1）d=23-4（n-1）=27-4n；
（3）∵a₁=23，d=-4，
∴前n項和S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=23n-2n（n-1）=-2n²+25n=-2（n-

25

4

）²+

625

8

，
當n=

25

4

時，S_n有最大值，最大值為

625

8

，
而n為正整數，∴當n=6時，前n項和S_n最大，
則前n項和S_n最大值為S₆=-2×6²+25×6=78．

點評：此題考查了等差數列的通項公式，前n項和公式，二次函數的性質，以及等差數列的性質，熟練掌握公式及性質是解本題的關鍵．