Question

設x₁、x₂、y₁、y₂是實數，且滿足x₁²+x₂²≤1，

證明不等式（x₁y₁+x₂y₂－1）²≥（x₁²+x₂²－1）（y₁²+y₂²－1）.

Answer 1

證明略

解析:

分析：要證原不等式成立，也就是證（x₁y₁+x₂y₂－1）²－（x₁²+x₂²－1）（y₁²+y₂²－1）≥0.

（1）當x₁²+x₂²=1時，原不等式成立.……………3分

（2）當x₁²+x₂²＜1時，聯想根的判別式，可構造函數f（x）=（x₁²+x₂²－1）x－2（x₁y₁+x₂y₂－1）x+（y₁²+y₂²－1）…………………7分

其根的判別式Δ=4（x₁y₁+x₂y₂－1）²－4（x₁²+x₂²－1）（y₁²+y₂²－1）.………9分

由題意x₁²+x₂²＜1，函數f（x）的圖象開口向下.

又∵f（1）=x₁²+x₂²－2x₁y₁－2x₂y₂+y₁²+y₂²=（x₁－y₁）²+（x₂－y₂）²≥0，………11分

因此拋物線與x軸必有公共點.

∴Δ≥0.

∴4（x₁y₁+x₂y₂－1）²－4（x₁²+x₂²－1）（y₁²+y₂²－1）≥0，…………13分

即（x₁y₁+x₂y₂－1）²≥（x₁²+x₂²－1）（y₁²+y₂²－1）.……………14分