Question

設x₁、x₂、y₁、y₂是實數，且滿足x₁²+x₂²≤1，證明不等式（x₁y₁+x₂y₂-1）²≥（x₁²+x₂²-1）（y₁²+y₂²-1）．

Answer 1

【答案】分析：原不等式即為（x₁y₁+x₂y₂-1）²-（x₁²+x₂²-1）（y₁²+y₂²-1）≥0，由此聯想到根的判別式而構造一元二次方程：（x₁²+x₂²-1）x-2（x₁y₁+x₂y₂-1）x+（y₁²+y₂²-1）=0，實現問題的轉化，從而使不等式得到證明．
解答：證明：（1）當x₁²+x₂²=1時，原不等式成立．
（2）當x₁²+x₂²＜1時，聯想根的判別式，可構造函數f（x）=（x₁²+x₂²-1）x-2（x₁y₁+x₂y₂-1）x+（y₁²+y₂²-1），其根的判別式△=4（x₁y₁+x₂y₂-1）²-4（x₁²+x₂²-1）（y₁²+y₂²-1）．
由題意x₁²+x₂²＜1，函數f（x）的圖象開口向下．
又∵f（1）=x₁²+x₂²-2x₁y₁-2x₂y₂+y₁²+y₂²=（x₁-y₁）²+（x₂-y₂）²≥0，
因此拋物線與x軸必有公共點．
∴△≥0．
∴4（x₁y₁+x₂y₂-1）²-4（x₁²+x₂²-1）（y₁²+y₂²-1）≥0，
即（x₁y₁+x₂y₂-1）²≥（x₁²+x₂²-1）（y₁²+y₂²-1）．
點評：本題主要考查了不等式的證明，本題利用構造法證明不等式，領悟并掌握構造法，不僅在不等式的證明中能受益，在其它數學解題中也可以簡化解題．