Question

拋物線的頂點在原點，焦點在射線x-y+1=0（x≥0）上
（1）求拋物線的標準方程
（2）過（1）中拋物線的焦點F作動弦AB，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M，求點M的軌跡方程，并求出的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先射線x-y+1=0（x≥0）與坐標軸的交點解得焦點坐標，根據拋物線的焦點坐標，求出拋物線的標準方程．
（2）設AB的直線方程y=kx+1，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量數量積的坐標運算公式即可求出的值，從而解決問題．
解答：解：（1）∵是標準方程，∴其焦點應該在坐標軸上，
∴令x=0，代入射線x-y+1=0，解得其焦點坐標為（0，1）
當焦點為（0，1）時，可知P=2，∴其方程為x²=4y．
（2）設，
過拋物線A，B兩點的切線方程分別是，
其交點坐標
設AB的直線方程y=kx+1代入x²=4y，得x²-4kx-4=0
∴
∵
∴
而
∴．
點評：本題主要考查平面向量數量積的運算、拋物線的標準方程．拋物線的標準方程的焦點一定在坐標軸上且定點一定在原點，即先確定焦點的坐標再求出標準方程．