Question

關于圖中的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，下列說法正確的有：

①②③

．
①P點在線段BD上運動，棱錐P-AB₁D₁體積不變；
②一個平面α截此正方體，如果截面是三角形，則必為銳角三角形；
③一個平面α截此正方體，如果截面是四邊形，則此四邊形必有一邊平行；
④平面α截正方體得到一個六邊形（如圖），則截面α在平面AB₁D₁與平面BDC₁間平行移動時此六邊形周長先增大，后減小．

Answer 1

分析：根據BD∥底面BDAB₁D₁，即P點在線段BD上運動時，棱錐的底面大小和高保持不變，可判斷①的真假；
令截面為三角形，令用余弦定理判斷截面各角的大小，可判斷②的真假；
令截面為四邊形，結合正方體的幾何特征和面面平行的性質定理，可判斷③的真假；
根據截面α在平面AB₁D₁與平面BDC₁間平行移動時此六邊形周長不變，可判斷④的真假．

解答：解：∵BD∥B₁D₁，則BD∥底面BDAB₁D₁，即P點在線段BD上運動時，棱錐的底面大小和高保持不變，故棱錐P-AB₁D₁體積不變，即①正確；
如一個平面α截此正方體，如果截面是三角形A₂B₂C₂，OA₂=a，OB₂=b，OC₂=c，
則A₂C₂²=a²+c²，A₂B₂²=a²+b²，B₂C₂²=b²+c²，
∴cos∠C₂A₂B₂=

2a2

2(a2+c2)•(a2+b2)

＞0，∴∠C₂A₂B₂為銳角，
同理∠A₂C₂B₂與∠A₂B₂C₂也為銳角，所以△A₂B₂C₂為銳角三角形，故②正確；
一個平面α截此正方體，如果截面是四邊形，則它一定會與正方體一組對面相交，根據正方體對面平行及平面平行的性質定理，可得這兩條交線一定平行，故③正確；
平面α截正方體得到一個六邊形（如圖），則截面α在平面AB₁D₁與平面BDC₁間平行移動時此六邊形周長保持不變，故④錯誤
故答案為：①②③

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了正方體的幾何特征，熟練掌握正方體模型中包含的線面長度及位置關系是解答的關鍵．