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在△ABC中,已知三內(nèi)角∠A、∠B、∠C成等差數(shù)列,其對邊分別為a、b、c,且c-a等于邊AC上的高h.則sin
C-A
2
=
1
2
1
2
分析:由三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到2B=A+C,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出B的度數(shù),進而得到sinB及cosB的值,由sinB,AB及BC,底邊AC及AC邊上的高h=c-a,利用三角形的面積公式列出等式,再利用正弦定理轉(zhuǎn)化,利用和差化積公式與積化和差公式即可.
解答:解:∵A、B、C成等差數(shù)列,
∴2B=A+C,又A+B+C=π,
∴B=
π
3
,又AB=c,BC=a,
∵三角形的面積S=
1
2
acsin60°=
1
2
bh=
1
2
b•(c-a),
∴acsin60°=b•(c-a),
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R得:sinAsinCsin60°=sinB•(sinC-sinA),而B=60°,
∴sinAsinC=sinC-sinA=2cos
C+A
2
•sin
C-A
2
=2×cos60°sin
C-A
2
=sin
C-A
2

而左邊sinAsinC=-
1
2
[cos(A+C)-cos(A-C)]=-
1
2
×(-
1
2
)+
1
2
cos(A-C)=
1
4
+
1
2
(1-2sin2
C-A
2
),
1
4
+
1
2
(1-2sin2
C-A
2
)=sin
C-A
2
,令t=sin
C-A
2
,則0≤t≤1
則t2+t-
3
4
=0,解得t=
1
2
或t=-
3
2
(舍).
∴sin
C-A
2
=
1
2

故答案為:
1
2
點評:此題屬于解三角形的題型,涉及的知識有:等差數(shù)列的性質(zhì),正弦定理及三角形的面積公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,和差化積公式與積化和差公式,熟練掌握三角函數(shù)公式是解本題的關(guān)鍵,是難題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,已知三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,向量
m
=(a,b),
n
=(cos(2π-B),sin(
π
2
+A)),若a≠b且
m
n

(Ⅰ)試求內(nèi)角C的大小;
(Ⅱ)若a=6,b=8,△ABC的外接圓圓心為O,點P位于劣弧
AC
上,∠PAB=60°,求四邊形ABCP的面積.

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在△ABC中,已知三個頂點A(24)B(12)C(10),點P(xy)在△ABC內(nèi)部及邊界運動,則zxy的最大值為

[  ]
A.

1

B.

3

C.

1

D.

3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:044

在△ABC中,已知三內(nèi)角ABC滿足關(guān)系式

(1)求證:任意變換ABC的位置y的值不變.

(2)y最大值.

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在△ABC中,已知三內(nèi)角A、B、C順次成等差數(shù)列,則 的值是________

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