Question

在△ABC中，已知三個內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，向量

m

=（a，b），

n

=（cos（2π-B），sin（

π

2

+A）），若a≠b且

m

∥

n

，
（Ⅰ）試求內角C的大小；
（Ⅱ）若a=6，b=8，△ABC的外接圓圓心為O，點P位于劣弧

AC

上，∠PAB=60°，求四邊形ABCP的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，及兩向量平行，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，整理后求出A+B的度數，即可確定出內角C的大小；
（Ⅱ）根據題意畫出圖形，連接PB，利用圓周角定理得到∠APB為直角，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AP的長，再利用兩角和與差的正弦函數公式求出sin∠PAC的值，利用三角形面積公式求出三角形ACP的面積，加上三角形ABC面積即可得到四邊形ABCP的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（a，b），

n

=（cos（2π-B），且

m

∥

n

，
∴bcosB-acosA=0，
利用正弦定理化簡得：sinBcosB-sinAcosA=0，
即sin2A=sin2B，
∵a≠b，∴A≠B，
∴2A+2B=π，即A+B=

π

2

，
則C=

π

2

；
（Ⅱ）由題意得：BC=6，AC=8，根據勾股定理得：AB=10，
∵AB為圓的直徑，∠PAB=60°，連接PB，
∴∠APB=90°，∠ABP=30°，
∴AP=

1

2

AB=5，
∵∠PAB=60°，sin∠CAB=

3

5

，cos∠CAB=

4

5

，
∴sin∠PAC=sin（60°-∠CAB）=

3

2

×

4

5

-

1

2

×

3

5

=

4 3 -3

10

，
則S_{四邊形ABCP}=S_△APC+S_△ABC=

1

2

×5×8×

4 3 -3

10

+

1

2

×8×6=8

3

-6+24=8

3

+18．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及平面向量的數量積運算，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．