Question

【題目】已知數列、的前項和分別為和，數列滿足， ，，等差數列滿足，.

（1）求數列和的通項公式；

（2）若數列滿足，求證：，其中.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據與的關系和等比數列的定義，可證出為首項，公比的等比數列，再根據等比數列的通項公式求出數列的通項公式；根據等差數列的通項公式和性質，求出和，即可求出的通項公式；

（2）寫出，根據等比數列的定義，可知是以為首項，為公比的等比數列，再利用等比數列的前項和公式求出，即可證出.

解：（1）由于， ，則，

則，即，

所以數列為首項，公比的等比數列，

則；

由于在等差數列中，，，

則，即，得，

故.

（2）由于，得，

則，且，

則數列是以為首項，為公比的等比數列，

則，

即時，.