Question

13、銳角△ABC的三高線為AD、BE、CF，垂心為H，求證：HD平分∠EDF．

Answer 1

分析：根據(jù)△ABC的三高線為AD、BE、CF得到AD⊥BC，BE⊥CA，從而得到四邊形一組對(duì)角互補(bǔ)，得到四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得到兩個(gè)角∠ADE=∠ABE，同理∠FBE=∠FCE，∠FCA=∠FDA，等量代換得到∠ADE=∠FDA，結(jié)論得證．

解答：證明：由于AD⊥BC，BE⊥CA，
∴點(diǎn)A，B，D，E四點(diǎn)共圓，
∴∠ADE=∠ABE，
又∵點(diǎn)F，B，C，E共圓，
∴∠FBE=∠FCE，
又因點(diǎn)C，A，F(xiàn)，D共圓，
∴∠FCA=∠FDA
∴可得∠ADE=∠FDA，即AD平分∠EDF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共圓，同弧所對(duì)的圓周角相等，等量代換等性質(zhì)，是一個(gè)平面幾何的問(wèn)題，在證明題目時(shí)，注意表示角是用三個(gè)大寫字母來(lái)表示，或者應(yīng)用一個(gè)小寫字母來(lái)表示．