Question

銳角△ABC的三高線為AD、BE、CF，垂心為H，求證：HD平分∠EDF．

Answer 1

【答案】分析：根據△ABC的三高線為AD、BE、CF得到AD⊥BC，BE⊥CA，從而得到四邊形一組對角互補，得到四點共圓，根據同弧所對的圓周角相等，得到兩個角∠ADE=∠ABE，同理∠FBE=∠FCE，∠FCA=∠FDA，等量代換得到∠ADE=∠FDA，結論得證．
解答：證明：由于AD⊥BC，BE⊥CA，
∴點A，B，D，E四點共圓，
∴∠ADE=∠ABE，
又∵點F，B，C，E共圓，
∴∠FBE=∠FCE，
又因點C，A，F，D共圓，
∴∠FCA=∠FDA
∴可得∠ADE=∠FDA，即AD平分∠EDF．
點評：本題考查四點共圓，同弧所對的圓周角相等，等量代換等性質，是一個平面幾何的問題，在證明題目時，注意表示角是用三個大寫字母來表示，或者應用一個小寫字母來表示．