Question

定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足：對任意x，y∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)恒成立．有下列結論：①f（0）=0；②函數f（x）為（-1，1）上的奇函數；③函數f（x）是定義域內的增函數；④若an+1=

2an

1+ a 2 n

(n∈N*)，且a_n∈（-1，0）∪（0，1），則數列{f（a_n）}為等比數列．
其中你認為正確的所有結論的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①取x=y=0代入已知的等式，則可求f（0）=0；
②取x=0，y=x，代入已知等式，整理后可得函數f（x）為奇函數；
③取x，y∈（-1，1），可證出-1＜

x-y

1-xy

＜0，當f(

x-y

1-xy

)＞0時，不能證明函數f（x）是定義域內的增函數；
④運用奇函數定義，得f(an)+f(an)=f(an)-f(-an)=f(

2an

1+an2

)=f（a_n+1），整理后可得數列{f（a_n）}為等比數列．

解答：解：①由對任意x，y∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)恒成立．
取x=y=0，則f(0)-f(0)=f(

0-0

1-0

)=f(0)，所以f（0）=0，所以①正確；
②取x=0，y=x，則f(0)-f(x)=f(

0-x

1-0•x

)=f(-x)，即f（-x）=-f（x），
所以函數f（x）為（-1，1）上的奇函數，所以②正確；
③設-1＜x＜y＜1，則-2＜x＜0，xy＜1，1-xy＞0，所以

x-y

1-xy

＜0，
又

x-y

1-xy

+1=

x-y+1-xy

1-xy

=

(1-y)(1+x)

1-xy

＞0，
所以-1＜

x-y

1-xy

＜0，
若f(

x-y

1-xy

)＞0，則f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)＞0，有f（x）＞f（y），此時函數為減函數，
所以③不正確；
④由f(an)+f(an)=f(an)-f(-an)=f(

2an

1+an2

)=f（a_n+1），所以f（a_n+1）=2f（a_n），
又a_n∈（-1，0）∪（0，1），所以f（a_n）≠0，所以數列{f（a_n）}為等比數列．
所以④正確．
故答案為①②④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了特值思想，解答此題的關鍵是把x，y取特值后靈活變形，考查了學生的觀察能力和靈活解決問題的能力，此題是中檔題．