Question

設函數f（x）=sin²ωx+2sinωx•cosωx-cos²ωx+λ（x∈R）的圖象關于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數，且ω∈（，1）．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的圖象經過點，求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數f（x）化為y=Asin（ωx+φ）+k型函數，再利用函數的對稱性和ω的范圍，計算ω的值，最后利用周期計算公式得函數的最小正周期；
（2）先將已知點的坐標代入函數解析式，求得λ的值，再利用正弦函數的圖象和性質即可求得函數f（x）的值域．
解答：解：f（x）=sin²ωx+2sinωx•cosωx-cos²ωx+λ
=sin2ωx-cos2ωx+λ
=2sin（2ωx-）+λ
∵圖象關于直線x=π對稱，∴2πω-=+kπ，k∈z
∴ω=+，又ω∈（，1）
令k=1時，ω=符合要求
∴函數f（x）的最小正周期為=
（2）∵f（）=0
∴2sin（2××-）+λ=0
∴λ=-
∴f（x）=2sin（x-）-
故函數f（x）的取值范圍為[-2-，2-]
點評：本題主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函數的圖象和性質，復合函數值域的求法，正弦函數的圖象和性質，屬基礎題