Question

設是公差不為零的等差數列，為其前項和，滿足且、、成等比數列.
(Ⅰ)求數列的通項公式；
(Ⅱ)設數列滿足：，，為數列的前項和,問是否存在正整數,使得成立？若存在，求出；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)不存在正整數,使得成立。

本題主要考查等比數列的定義和性質，等差數列的通項公式、前n項和公式的應用，求出a_n=2n，是解題的關鍵，屬于中檔題．
（Ⅰ）由a₁，a₂，a₄ 成等比數列得：（a₁+2）²=a₁（a₁+6），解得a₁=2，即可得到數列{a_n}的通項公式a_n的解析式．
（Ⅱ）由，可得b₁•b₂•…•b_n =4^1+2+…+n，利用等差數列的前n項和公式運算求得最后結果．
解：（I）設數列的公差為，且且成等比數列.
，即
解得……3分
∴……6分
（II）由題知：，
∴ u…………10分
若，則，即
令,知單調遞增，
當時，
當時，，
故不存在正整數,使得成立。 …………14分