Question

已知等比數列的前項和為，正數數列的首項為，
且滿足：．記數列前項和為．
(Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求數列的通項公式；
(Ⅲ)是否存在正整數，且，使得成等比數列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)  (Ⅲ) 存在，。

熟練掌握并靈活運用等差等比數列的通項公式以及求和公式是解決此題的關鍵．
（Ⅰ）根據Sn求出a₁，a₂，a₃，根據{a_n}為等比數列，確定出c的值．
（Ⅱ）根據b_n+1=

bn

1+2bn

 (n∈N*)，得到bn與bn+1的遞推關系，根據特殊的數列求通項．
（Ⅲ）先求出Tn，假設滿足T₁，T_m，T_n成等比數列，得到n與m的關系式，再根據1＜m＜n，求出m，n的范圍，根據m，n是正整數，求出m，n的值．
解：(Ⅰ)，，………（3分）
因為為等比數列所以，得 ………………………（4分）
經檢驗此時為等比數列.          ………………（5分）
(Ⅱ)∵   ∴
數列為等差數列  …………………………………………（7分）
又，所以
所以                          …………（10分）
(Ⅲ) ……（12分）
假設存在正整數，且，使得成等比數列
則，所以
由得且
即，所以
因為為正整數，所以，此時
所以滿足題意的正整數存在，．…………（15分）