Question

函數f（x）=3sin（kx+

π

3

）+1（k＞0）的最小正周期為T，且T∈（1，3）
（1）求實數k的范圍；
（2）若k∈N₊，當k取最小值時，①求函數f（x）的最大值及相應的x的取值集合；②求函數f（x）的對稱中心．

Answer 1

分析：（1）根據周期T=

2π

k

∈(1，3)，可得

2π

3

＜k＜2π，由此求得k的范圍．
（2）k∈N₊，所以k_min=3，且 f(x)=3sin(3x+

π

3

)+1，①當3x+

π

3

=2nπ+

π

2

，n∈Z，f（x）_max=4．②令3x+

π

3

=nπ，n∈Z，求得x=

nπ

3

-

π

9

，n∈Z，從而得到函數f（x）的對稱中心．

解答：解：（1）因為T=

2π

k

∈(1，3)，…（2分）     
 所以

2π

3

＜k＜2π，即k的范圍是 （

2π

3

，2π）．…（1分）
（2）k∈N₊，所以k_min=3，…（2分） 
  f(x)=3sin(3x+

π

3

)+1，
①當3x+

π

3

=2nπ+

π

2

，n∈Z，即{x|x=

2nπ

3

+

π

18

，n∈Z}時，…（2分） 
 f（x）_max=4．…（1分）
②令3x+

π

3

=nπ，n∈Z，x=

nπ

3

-

π

9

，n∈Z，…（2分）
即函數f（x）的對稱中心是(

nπ

3

-

π

9

，1)，n∈Z．…（2分）

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的周期性、對稱性和最值，屬于中檔題．