Question

已知函數f(x)=

px2+2

q-3x

是奇函數，且f(2)=-

5

3

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）用單調性的定義證明f（x）在區間[1，4]是減函數
（3）求函數f（x）在區間[1，4]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（-x）=-f（x），代入可得

px2+2

q+3x

=-

px2+2

q-3x

，可求q．，由f(2)=-

5

3

，可求p，從而可求
（2）由（1）可得f(x)=

2x2+2

-3x

=-

2

3

(x+

1

x

)，設1≤x₁＜x₂≤4，f(x1)-f(x2)=

2

3

[(x2+

1

x2

)-(x1+

1

x1

)]=

2

3

•

(x1-x2)(1-x1x2)

x1x2

，根據條件可判斷
（3）由（2）可得函數f（x）在區間[1，4]上的最小值f（4）

解答：（1）解：∵f（x）是奇函數，
∴對定義域內的任意的x，都有f（-x）=-f（x），
即

px2+2

q+3x

=-

px2+2

q-3x

，整理得：q+3x=-q+3x
∴q=0
又∵f(2)=-

5

3

，
∴f(2)=

4p+2

-6

=-

5

3

，解得p=2
∴所求解析式為f(x)=

2x2+2

-3x

（2）由（1）可得f(x)=

2x2+2

-3x

=-

2

3

(x+

1

x

)，f（x）在區間[1，4]上是減函數．
證明如下：設1≤x₁＜x₂≤4，，
則由于f(x1)-f(x2)=

2

3

[(x2+

1

x2

)-(x1+

1

x1

)]=

2

3

•

(x1-x2)(1-x1x2)

x1x2

因此，當1≤x₁＜x₂≤4時，x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＜0
從而得到f（x₁）-f（x₂）＞0即，f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在區間[1，4]是減函數．
（3）由（2）可得函數f（x）在區間[1，4]上的最小值=f(4)=-

17

6

點評：本題主要考查了奇函數的定義f（-x）=-f（x）在求解函數解析式中的應用，函數的單調性的定義在證明函數單調性中的應用，及利用函數的單調性在求解函數最值中的應用．