Question

已知函數f(x)=x+

t

x

(x＞0)，過點P（1，0）作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N．
（1）當t=2時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）設|MN|=g（t），試求函數g（t）的表達式．

Answer 1

分析：（1）當t=2時，f(x)=x+

2

x

，對函數求導，結合導數可求函數f（x）的單調遞增區間
（2）設M、N兩點的橫坐標分別為x₁、x₂，利用導數的幾何意義可得切線MP的方程，由過（1，0）可，代入可得x₁，x₂滿足x²+2tx-t=0．由方程的思想可得

x1+x2=-2t x1x2 =-t

，代入|MN|=

(x1-x2)2+(x1+ t x1 -x2- t x2 )2

=

(x1-x2)2[1+(1- t x1x2 )2]

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1- t x1x2 )2]

可求

解答：解：（1）當t=2時，f(x)=x+

2

x

，--------（2分）
f′(x)=1-

2

x2

=

x2-2

x2

＞0
解得x＞

2

或x＜-

2

--------（4分）
則函數f（x）有單調遞增區間為(-∞，-

2

)，(

2

，+∞)--------（5分）
（2）設M、N兩點的橫坐標分別為x₁、x₂，
∵f′(x)=1-

t

x2

∴切線MP的方程為y-(x1+

t

x1

)= (1-

t

x12

)(x-x1)
∴0-(x1+

t

x1

)=(1-

t

x12

)(1-x1)…（8分）
同理，由切線PN也過點（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根，
∴

x1+x2 =-2t x1x2=-t

（*）
|MN|=

(x1-x2)2+(x1+ t x1 -x2- t x2 )2

=

(x1-x2)2[1+(1- t x1x2 )2]

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1- t x1x2 )2]

把（*）式代入，得|MN|=

20t2+20t

，
因此，函數g（t）=

20(t2+t)

(t＞0)--------------（15分）

點評：本題主要考查了利用函數的導數求解函數的單調區間，及導數的幾何意義：導數在某點處的導數值即為改點的切線的斜率的應用．