Question

如圖1，A（-1，0）、B（1，0）是橢圓的長軸上兩點，C，D分別為橢圓的短軸和長軸的端點，P是CD上的動點，若的最大值與最小值分別為3、．

（1）求橢圓的離心率；
（2）如圖2，點F（1，0），動點Q、R分別在拋物線y²=4x及橢圓的實線部分上運動，且QR∥x軸，求△FQR的周長l的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設P（x₁，y₁），則，
∴，…（2分）
∵的最大值與最小值分別為3和，
∴x₁²+y₁²的最大值與最小值分別為4、，…（3分）
而x₁²+y₁²表示線段CD上的點到原點的距離OP的平方，
∴點OP的最大值為OD=2，
即a=2，…（5分）
OP的最小值即為O到線段CD的距離，
由平面幾何知識得OC=，即，…（7分）
得，則橢圓的離心率=．…（9分）
（2）設R（x₀，y₀），
由拋物線的定義知QF等于點Q到拋物線準線x=1的距離，
∴QF+QR等于點R到拋物線準線x=1的距離為x₀+1，…（11分）
由橢圓的第二定義知，
∴△NAB的周長l=x₀+1=．…（13分）
由，
得：拋物線與橢圓交點的橫坐標為，
即得．
所以△FQR的周長l的取值范圍為．…（16分）
分析：（1）設P（x₁，y₁），則，故，由此能求出橢圓的離心率．
（2）設R（x₀，y₀），由拋物線的定義知QF等于點Q到拋物線準線x=1的距離，故QF+QR等于點R到拋物線準線x=1的距離為x₀+1．由橢圓的第二定義知，由此能求出△FQR的周長l的取值范圍．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，拋物線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．