Question

在一次研究性學習中，老師給出函數f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），三位同學甲、乙、丙在研究此函數時給出命題：
甲：函數f（x）的值域為[-1，1]；
乙：若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
丙：若規定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），則f_n（x）=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立．
你認為上述三個命題中不正確的個數有（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

分析：由f（x）的解析式可知，當x＞0時f（x）=

x

1+x

，y≠1．當x≤0時f（x）=

x

1-x

，y≠-1．又因為它在每一段上都單調，所以甲錯，乙對，通過遞推關系可知丙對，從而獲解，對丙：由f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））．可以用不完全歸納法歸納即可判斷丙正確．

解答：解：由f（x）的解析式可知，當x＞0時f（x）=

x

1+x

，y≠1．當x≤0時f（x）=

x

1-x

，y≠-1．并且該函數在每一分段上單調，所以，可推知甲同學錯誤，乙同學正確．
又有f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））；推知法f₂（x）=

f1(x)

1+[f1(x)]

=

x

1+2[x]

，…f_n（x）=

x

1+n[x]

，故丙正確
故選B．

點評：本題考查分段函數的性質，要注意結合函數值域求法及單調性判斷方法對甲乙取舍，至于丙的說法用不完全歸納法歸納即可作出判斷．