Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式

（2）若關(guān)于的方程的解集中怡好有一個(gè)元素，求的取值范圍；

（3）設(shè)若對(duì)任意函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或或；（3）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，解對(duì)數(shù)不等式即可．

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，討論的取值范圍進(jìn)行求解即可．

（3）根據(jù)條件得到恒成立，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

由，得，

即，

解得或，

即不等式的解集為或；

（2）由得．

即，

即，①

則，

即，②，

當(dāng)時(shí)，方程②的解為，代入①，成立

當(dāng)時(shí)，方程②的解為，代入①，成立

當(dāng)且時(shí)，方程②的解為或，

若是方程①的解，則，即，

若是方程①的解，則，即，

則要使方程①有且僅有一個(gè)解，則．

綜上，若方程的解集中恰好有一個(gè)元素，

則的取值范圍是或或．

（3）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

由題意得，

即，

即即

設(shè)，則，

，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

在上遞減，

，

，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．