Question

已知函數處取得極值.

   （1）求實數a的值，并判斷上的單調性；

   （2）若數列滿足；

   （3）在（2）的條件下，

記

求證：

Answer 1

（1）1 在上是增函數.（2）見解析（3）見解析

解析:

（1）

由題知，即a-1=0，∴a=1.

則

∵x≥0，∴≥0，≥0，又∵＞0，∴x≥0時，≥0，

∴在上是增函數.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴

下面用數學歸納法證明＞0.①當n=1時，=1＞0成立；

②假設當時，＞0,∵在上是增函數，

∴＞∴＞0成立，綜上當時，＞0.

又∵＞0,1+＞1,∴＞0,∵＞0,

∴＜，

而=1,∴≤1，綜上，0＜≤1.（3）∵0＜＜≤1，

∴＜,∴＜,∴＜,

∴＞＞0,

∴=·…＜·……  =ⁿ.

∴S_n＝++…+

＜+()²+…+()ⁿ

＝＜==1.

∴S_n＜1.