Question

已知數列{an}中，a1=

1

2

，Sn為數列的前n項和，且S_n與

1

an

的一個等比中項為n(n∈N*)，則S_n=

 

．

Answer 1

分析：根據所給的數列的首項和一個關于通項與n項和的關系，na_n-1=（n-2）a_n-2，（n-1）a_n-2=（n-3）a_n-3…5a₄=3a₃，4a₃=2a₂，3a₂=a₁，兩邊相乘并整理，得：n（n+1）a_n=2a₁，由此能夠求出a_n．即可求出s_n．

解答：解：a1=

1

2

，
S_n為數列的前n項和，且S_n與

1

an

的一個等比中項為n，
∴s_n=n²a_n，
_{，∴Sn-1=（n-1）²an-1}，
∴S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1=a_n
（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
∴na_n-1=（n-2）a_n-2
（n-1）a_n-2=（n-3）a_n-3
…
5a₄=3a₃，
4a₃=2a₂，
3a₂=a₁，
兩邊相乘：
3×4×5×…×（n-1）n（n+1）a_n=1×2×3×…×（n-3））（n-2））（n-1）a₁
n（n+1）a_n=2a₁，
∴an=

2a1

n(n+1)

=

4

n(n+1)

．
∴s_n=

4n

n+1

故答案為：

4n

n+1

．

點評：本題考查數列的及其應用，解題時要認真審題，熟練掌握公式的靈活運用，解題的關鍵是得到前n項和與通項之間的關系．