Question

已知直線l：y=kx+2（k為常數）過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點B和左焦點F，且被圓x²+y²=4截得的弦長為L，若L≥

4

5

5

，則橢圓離心率e的取值范圍是（　　）

A．(0， 5 5 ]

B．(0， 2 5 5 ]

C．(0， 3 5 5 ]

D．(0， 4 5 5 ]

Answer 1

圓x²+y²=4的圓心到直線l：y=kx+2的距離為d=

2

k2+1

∵直線l：y=kx+2被圓x²+y²=4截得的弦長為L，L≥

4

5

5

∴由垂徑定理，得2

r2-d2

≥

4 5

5

，
即2

4-d2

≥

4 5

5

，解之得d²≤

16

5

∴

4

k2+1

≤

16

5

，解之得k²≥

1

4

∵直線l經過橢圓的上頂點B和左焦點F，
∴b=2且c=

a2-b2

=-

2

k

，即a²=4+

4

k2

因此，橢圓的離心率e滿足e²=

c2

a2

=

4 k2

4+ 4 k2

=

1

1+k2

∵k²≥

1

4

，∴0＜

1

1+k2

≤

4

5

，可得e²∈（0，

2 5

5

]
故選：B