Question

有下列命題：①若四邊形的四邊相等,則這個四邊形一定菱形；②在正方體
中，分別是棱的中點，則直線與一定相交，且交點在直線上；③若點,，則的最大值是；④若的頂點A、B分別是橢圓兩個焦點，且滿足，則頂點C的軌跡方程是雙曲線．
其中所有正確命題的序號是           ．

Answer 1

②③

解析試題分析：①四邊形有可能是空間四邊形；②根據公理3可知正確；
③，所以最大值為；
④因為，所以由正弦定理，容易得到：｜CB｜－｜CA｜＝｜AB｜。
因為A、B分別是橢圓的左、右焦點，所以｜AB｜為定值，即｜AB｜為定值，
所以點C的軌跡是以A、B為焦點，｜AB｜為實軸長的雙曲線右半支。
考點：本題考查空間四邊形、公理3、兩點間的距離公式、三角函數的最值問題以及雙曲線的定義。
點評：如①如果放在同一平面內，則為真命題，在空間中則為假命題，是本題的易忽略點。一般的，在平面上經常見到的說法正確到空間中不一定成立；在運用雙曲線的定義時，應特別注意定義中的條件：差的絕對值。弄清是指整條雙曲線還是雙曲線的一支以及是哪一支。