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離心率e=
5
-1
2
的橢圓稱為“優美橢圓”，a，b，c分別表示橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距長，則滿足“優美橢圓”的是（　　）
分析：通過橢圓的離心率，構造離心率的方程，然后推出a、b、c的關系，即可得到選項．
解答：解：因為離心率e=
5
-1
2
的橢圓稱為“優美橢圓”，
所以e=
5
-1
2
是方程e2+e-1=0的正跟，
即有(
c
a
)2+
c
a
-1=0，
可得c2+ac-a2=0，又c2=a2-b2，
所以b2=ac．
即b是a，c的等比中項．
故選B．
點評：本題考查橢圓的簡單性質的應用，構造法是解得本題的關鍵，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點為F（c，0），p為橢圓E上任意一點．
（1）試證：若a、b、c不是等比數列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）若E為黃金橢圓；問：是否存在過點F，P的直線l；使l與y軸的交點R滿足
RP
=-2
PF
；若存在，求直線l的斜率K；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

我們稱離心率e=
5
-1
2
的橢圓叫做“黃金橢圓”，若
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)為黃金橢圓，以下四個命題：
（1）長半軸長a，短半軸長b，半焦距c成等比數列．
（2）一個長軸頂點與其不同側的焦點以及一個短軸頂點構成直角三角形．
（3）以兩條通經的4個端點為頂點的四邊形為正方形．
（4）P、Q為橢圓上任意兩點，M為PQ中點，只要PQ與OM的斜率存在，必有kPQ•kOM的定值．
其中正確命題的序號為
（1）（2）（3）（4）
（1）（2）（3）（4）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1（-c，0）、F2（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點．
（1）試證：若a，b，c不是等比數列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）設E為“黃金橢圓”，問：是否存在過點F2、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足
RP
=-2
PF2
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
（3）設E為“黃金橢圓”，點M是△PF1F2的內心，連接PM并延長交F1F2于N，求
|PM|
|PN|
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點為F（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點．
（1）試證：若a，b，c不是等比數列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）沒E為黃金橢圓，問：是否存在過點F、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足
RP
=-2
PF
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
（3）已知橢圓E的短軸長是2，點S（0，2），求使
SP
2取最大值時點P的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（c，0）（c＞0），則E為“黃金橢圓”是a，b，c成等比數列的（　　）

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