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定義:離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的兩個焦點分別為F1(-c,0)、F2(c,0)(c>0),P為橢圓E上的任意一點.
(1)試證:若a,b,c不是等比數(shù)列,則E一定不是“黃金橢圓”;
(2)設(shè)E為“黃金橢圓”,問:是否存在過點F2、P的直線l,使l與y軸的交點R滿足
RP
=-2
PF2
?若存在,求直線l的斜率k;若不存在,請說明理由;
(3)設(shè)E為“黃金橢圓”,點M是△PF1F2的內(nèi)心,連接PM并延長交F1F2于N,求
|PM|
|PN|
的值.
分析:(1)利用反證法,可得a,b,c成等比數(shù)列,與已知矛盾;
(2)假設(shè)直線l的方程,求出P的坐標(biāo),代入橢圓方程,可得k2=
1-4e2
e
<0
,與k2≥0矛盾;
(3)設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑,利用等面積,可得
a+c
c
=
S△PF1F2
S△MF1F2
=
|PN|
|MN|
,由此可求
|PM|
|PN|
的值.
解答:(1)證明:假設(shè)E為黃金橢圓,則e=
c
a
=
5
-1
2
,∴c=
5
-1
2
a
.…(1分)
b2=a2-c2=a2-(
5
-1
2
a)2=
5
-1
2
a2=ac
.…(3分)
即a,b,c成等比數(shù)列,與已知矛盾,故橢圓E一定不是“黃金橢圓”.…(4分)
(2)解:依題意,假設(shè)直線l的方程為y=k(x-c).
令x=0有y=-kc,即點R的坐標(biāo)為(0,-kc).
RP
=-2
PF2
,∴點F2(c,0),
∴點P的坐標(biāo)為(2c,kc).…(6分)
∵點P在橢圓上,∴
4c2
a2
+
k2c2
b2
=1

∵b2=ac,∴4e2+k2e=1.
k2=
1-4e2
e
<0
,與k2≥0矛盾.
∴滿足題意的直線不存在.…(8分)
(3)解:連接MF1,MF2,設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r.
1
2
|PF1|r+
1
2
|PF2|r+
1
2
|F1F2|r
=S△PF1F2
1
2
(2a+2c)r
=S△PF1F2
1
2
|F1F2|r
=S△MF1F2=
1
2
•2c•r

a+c
c
=
S△PF1F2
S△MF1F2
=
|PN|
|MN|
…(10分)
|MN|=
c
a+c
|PN|

|PM|=(1-
c
a+c
)|PN|

|PM|
|PN|
=
a
a+c
=
1
1+
c
a
=
1
1+
5
-1
2
=
1
5
+1
2
=
5
-1
2
…(12分)
點評:本題考查新定義,考查反證法的運用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確運用新定義是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個焦點為F(c,0),p為橢圓E上任意一點.
(1)試證:若a、b、c不是等比數(shù)列,則E一定不是“黃金橢圓”;
(2)若E為黃金橢圓;問:是否存在過點F,P的直線l;使l與y軸的交點R滿足
RP
=-2
PF
;若存在,求直線l的斜率K;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”,對于橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,c為橢圓的半焦距,如果a,b,c不成等比數(shù)列,則橢圓E(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個焦點為F(c,0)(c>0),P為橢圓E上的任意一點.
(1)試證:若a,b,c不是等比數(shù)列,則E一定不是“黃金橢圓”;
(2)沒E為黃金橢圓,問:是否存在過點F、P的直線l,使l與y軸的交點R滿足
RP
=-2
PF
?若存在,求直線l的斜率k;若不存在,請說明理由;
(3)已知橢圓E的短軸長是2,點S(0,2),求使
SP
2
取最大值時點P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”,已知E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),則E為“黃金橢圓”是a,b,c成等比數(shù)列的(  )

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