Question

如圖，A、B是一矩形OEFG邊界上不同的兩點，且∠AOB=45°，OE=1，EF=

3

，設∠AOE=α．
（1）寫出△AOB的面積關于α的函數關系式f（α）；
（2）寫出函數f（α）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據OE=1，EF=

3

，可得∠EOF=60°．由于A、B是一矩形OEFG邊界上不同的兩點，且∠AOB=45°，∠AOE=α，故要進行分類討論：當α∈[0，

π

12

]時，△AOB的兩頂點A、B在E、F上；當a∈(

π

12

，

π

4

]時，A點在EF上，B點在FG上，從而可求相應的面積f（α），進而得出結論；
（2）由（1）分類求函數的值域：當α∈[0，

π

12

]時，f（α）=

2

2cos(2α+ π 4 )+ 2

∈[

1

2

，

3

-1]；當α∈(

π

12

，

π

4

]時，f（α）=

6

2cos(2α- π 4 )+ 2

∈[

6

-

3

，

3

2

]．故可得結論．

解答：解：（1）∵OE=1，EF=

3

．
∴∠EOF=60°．
當α∈[0，

π

12

]時，△AOB的兩頂點A、B在E、F上，
且AE=tanα，BE=tan（45°+α）．
∴f（α）=S_△AOB=

1

2

[tan（45°+α）-tanα]
=

sin45°

2cosα•cos(45°+α)

=

2

2cos(2α+45°)+ 2

．
當a∈(

π

12

，

π

4

]時，A點在EF上，B點在FG上，且OA=

1

cosα

，OB=

3

cos(45°-α)

．
∴f（α）=S_△AOB=

1

2

OA•OB•sin45°=

1

2cosα

•

3

cos(45°-α)

•sin45°=

6

2cos( π 4 -2α)+ 2

綜上得：f（α）=

2 2cos(2α+ π 4 )+ 2 α∈[0， π 12 ] 6 2cos(2α- π 4 )+ 2 α∈( π 12 ， π 4 ]

（2）由（1）得：當α∈[0，

π

12

]時，f（α）=

2

2cos(2α+ π 4 )+ 2

∈[

1

2

，

3

-1]．
且當α=0時，f（α）_min=

1

2

；α=

π

12

時，f（α）_max=

3

-1；
當α∈(

π

12

，

π

4

]時，-

π

12

≤2α-

π

4

≤

π

4

，f（α）=

6

2cos(2α- π 4 )+ 2

∈[

6

-

3

，

3

2

]．
且當α=

π

8

時，f（α） _min=

6

-

3

；當α=

π

4

時，f（α） _max=

3

2

．
所以f（α）∈[

1

2

，

3

2

]．

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查三角函數，同時考查了三角函數的值域問題，綜合性強，其中分類討論是解題的關鍵．