Question

如圖，半徑是1且圓心角為120°的扇形中，點A、B是扇形的兩個端點，線段PQ是一條平行于弦AB的動弦，以PQ為一邊作該扇形的一個內接矩形MNQP，將矩形MNQP面積記為S．試確定當P點在什么位置時，S取得最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：要用三角函數解決問題，首先構造三角形即連接op，然后設出角∠AOP=θ，并過O作OH⊥MN于H，能推出H是MN的中點．然后在△OPM中，利用正弦定理得到MP，而MN=2HM，進而得到MN，利用三角形面積法求出S．利用三角函數變換公式得到正弦函數，最后求出正弦函數最大值即可．

解答：解：連接OP，設∠AOP=θ，則θ∈（0°，120°），
過點O作OH⊥MN于H，則H是MN的中點，（2分）
在△OMP中，由正弦定理有

MP

sinθ

=

MO

sin(60°-θ)

=

1

sin120°

所以MP=

2

3

sinθ①（5分）
OM=

2

3

sin(60°-θ)，
所以在直角△OMH中，HM=OMsin60°=sin（60°-θ）
所以MN=2HM=2sin（60°-θ）②（8分）
所以由①②得：S=

4

3

sinθsin(60°-θ)=2sinθcosθ-

2

3

sin2θ（10分）
=sin2θ-

3

3

(1-cos2θ)=sin2θ+

3

3

cos2θ-

3

3

=

2 3

3

sin(2θ+30°)-

3

3

（13分）
因為θ∈（0°，120°），所以當2θ+30°=90°，
即θ=30°時Smax=

3

3

，（15分）
即

AP

的長是

AB

的長的

1

4

時（或說成當∠AOP=30°時），
S取得最大值

3

3

．（16分）

點評：此題考查正弦函數最值問題，學生的構造能力及三角函數的變換能力，解決實際問題的能力．