Question

已知，如圖四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中點，四面體P－BCG的體積為．

(1)求異面直線GE與PC所成的角；

(2)求點D到平面PBG的距離；

(3)若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知，∴PG＝4． 　　在平面ABCD內，過C點作CH//EG，交AD于H，連結PH，則∠PCH(或其補角)就是異面直線GE與PC所成的角．在△PCH中，，由余弦定理得，cos∠PCH＝∴異面直線GE與PC所成的角為arccos 　　(2)∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD 　　在平面ABCD內，過D作DK⊥BG，交BG延長線于K，則DK⊥平面PBG 　　∴DK的長就是點D到平面PBG的距離． 　　　在△DKG，DK＝DGsin45°＝ 　　∴點D到平面PBG的距離為． 　　(3)在平面ABCD內，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結MF，又因為DF⊥GC 　　∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM． 　　由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM//PG． 　　由GM⊥MD，得GM＝GD·cos45°＝．