Question

    已知，如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，四面體P—BCG的體積為.

（Ⅰ）求異面直線GE與PC所成的角；

（Ⅱ）求點D到平面PBG的距離；

（Ⅲ）若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值.

Answer 1

答案：
解析：

答案：解法一：    （I）由已知 ∴PG=4如圖所示，以G點為原點建立空間直角坐標(biāo)系o—xyz， 則 B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4） 故E（1，1，0） ∴異面直線GE與PC所成的角為（II）平面PBG的單位法向量 ∴點D到平面PBG的距離為（III）設(shè)F（0，y , z） 在平面PGC內(nèi)過F點作FM⊥GC，M為垂足，則 解法二：     （I）由已知 ∴PG=4……… 在平面ABCD內(nèi)，過C點作CH//EG 交AD< span style='font-family: 宋體;mso-ascii-font-family:"Times New Roman";mso-hansi-font-family:"Times New Roman"'>于H，連結(jié)PH，則 ∠PCH（或其補(bǔ)角）就是異面直線GE 與PC所成的角.在△PCH中， 由余弦定理得， ∴異面直線GE與PC所成的角為（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG ∴平面PBG⊥平面ABCD 在平面ABCD內(nèi)，過D作DK⊥BG，交BG延長線于K，則DK⊥平面PBG ∴DK的長就是點D到平面PBG的距離 在△DKG， ∴點D到平面PBG的距離為（III）在平面ABCD內(nèi)，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結(jié)MF，又因為DF⊥GC ∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM 由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD  ∴FM//PG 由GM⊥MD得：