Question

已知向量

a

=(sinx， 1)，

b

=(1 ，cosx)，函數f(x)=

2

2

a

•

b

，
（1）求函數f（x）的值域；
（2）若α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)，且f(α+β+

π

4

)=

3

5

，f(β-

π

4

)=

5

13

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，即可求解函數f（x）的值域；
（2）利用f(α+β+

π

4

)=

3

5

，求出α+β的余弦函數值，通過α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)，求出正弦函數值，利用f(β-

π

4

)=

5

13

，求出sinβ，通過sinα=sin[（α+β）-β]求解即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）f(x)=

2

2

a

•

b

=

2

2

×(sinx+cosx)=sin(x+

π

4

)…（3分）
f（x）的值域為：[-1，1]； …（4分）
（2）由f(α+β+

π

4

)=

3

5

得：sin(α+β+

π

2

)=cos(α+β)=

3

5

，
又α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)，則 α+β∈（0，π），sin(α+β)=

1-( 3 5 )2

=

4

5

…（8分）
由f(β-

π

4

)=

5

13

得：sinβ=

5

13

，
又 β∈(0，

π

2

)，cosβ=

1-( 5 13 )2

=

12

13

…（10分）
sinα=sin[（α+β）-β]=sin(α+β)•cosβ-cos(α+β)•sinβ=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

．…（12分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，三角函數的值的求法，角的轉化技巧，考查計算能力．