Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．當(dāng)a≠0時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

Answer 1

分析：先求函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，得到函數(shù)的極值點，再判斷極值點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負，如果左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為負，取得極大值，如果左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，取得極小值．

解答：解：對函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R）求導(dǎo)數(shù)，得，y′=-（3x-a）（x-a）
令y′=0，得，x=a，或x=

a

3

當(dāng)a＜0，a＜

a

3

，當(dāng)x＜a時，y′＜0，當(dāng)a＜x＜

a

3

時，y′＞0，當(dāng)x＞

a

3

時，y′＜0，
∴函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值f（a），且f（a）=0；函數(shù)f（x）在x=

a

3

處取得極大f(

a

3

)，且f(

a

3

)=-

4

27

a3．當(dāng)a＞0，a＞

a

3

，，當(dāng)x＜

a

3

時，y′＜0，，
當(dāng)

a

3

＜x＜a時，y′＞0，，當(dāng)x＞a時，y′＜0．
∴函數(shù)f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=0；函數(shù)f（x）在x=

a

3

處取得極小f(

a

3

)，且f(

a

3

)=-

4

27

a3．

點評：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，極值處導(dǎo)數(shù)等于0，且極值點左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為負，取得極大值，如果左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，取得極小值