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（本小題滿分14分）

已知點在拋物線上，點到拋物線的焦點F的距離為2，

直線與拋物線交于兩點.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若以為直徑的圓與軸相切，求該圓的方程；

（Ⅲ）若直線與軸負半軸相交，求面積的最大值.

【解析】（Ⅰ）拋物線的準線為， ................1分

由拋物線定義和已知條件可知，

解得，故所求拋物線方程為. .............................3分

（Ⅱ）聯立，消并化簡整理得.

依題意應有，解得. ............................4分

設，則， ..............................5分

設圓心，則應有.

因為以為直徑的圓與軸相切，得到圓半徑為， ...............6分

又 .

所以， .....................7分

解得. .........................8分

所以，所以圓心為.

故所求圓的方程為. .......................9分

方法二：

聯立，消掉并化簡整理得，

依題意應有，解得. ........................4分

設，則 . ........................5分

設圓心，則應有，

因為以為直徑的圓與軸相切，得到圓半徑為. ......................6分

又，

又，所以有， ...............................7分

解得， .................8分

所以，所以圓心為.

故所求圓的方程為. ...................9分

（Ⅲ）因為直線與軸負半軸相交，所以，

又與拋物線交于兩點，由（Ⅱ）知，所以，.........................10分

直線：整理得，

點到直線的距離， .................................11分

所以. .........................12分

令，，

，


＋	0	－
	極大

由上表可得最大值為 . ................................13分

所以當時，的面積取得最大值 . ..................................14分

練習冊系列答案

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