Question

已知在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，、分別是線段、的中點．

（1）證明：；

（2）判斷并說明上是否存在點，

使得∥平面；                    

（3）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值

 

Answer 1

【答案】

解法一：（Ⅰ）∵ 平面，，

，，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則．…………2分

不妨令∵，

∴，

即．…………………………4分

（Ⅱ）設平面的法向量為，

由，得，令，解得：．

∴．   ………………………………………………………6分

設點坐標為，，則，

要使∥平面，只需，即，

得，從而滿足的點即為所求．……………………………8分

（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，

……………………………9分

又∵平面，∴是與平面所成的角，

得，，平面的法向量為    ……10分

∴，

故所求二面角的余弦值為．………12分

解法二：（Ⅰ）證明：連接，則，，

又，∴ ，∴    ……2分

又，∴ ，又，

∴ ……4分

（Ⅱ）過點作交于點，則∥平面，且有

再過點作∥交于點，則∥平面且，

∴  平面∥平面      ……………………………………………………7分

∴  ∥平面．

從而滿足的點即為所求．  ……………………………………………8分

（Ⅲ）∵平面，∴是與平面所成的角，且．

∴    ………………………………………………………………9分

取的中點，則，平面，

在平面中，過作，連接，則，

則即為二面角的平面角………………………10分

∵∽，∴ ，

∵，且

∴  ，，

∴

【解析】略