Question

（2012•資陽二模）△ABC中，角A、B、C對邊分別是a、b、c，滿足2

AB

•

AC

=a2-(b+c)2．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求2

3

cos2

C

2

-sin(

4π

3

-B)的最大值，并求取得最大值時角B、C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過化簡向量的表達式，利用余弦定理求出A的余弦值，然后求角A的大小；
（Ⅱ）通過A利用2012年6月7日 17：54：00想的內(nèi)角和，化簡2

3

cos2

C

2

-sin(

4π

3

-B)為C的三角函數(shù)，通過C的范圍求出表達式的最大值，即可求出最大值時角B、C的大小．

解答：解 （Ⅰ）由已知2

AB

•

AC

=a2-(b+c)2，
化為2bccosA=a²-b²-c²-2bc，（2分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得4bccosA=-2bc，
∴cosA=-

1

2

，（4分）
∵0＜A＜π，∴A=

2π

3

．（6分）
（Ⅱ）∵A=

2π

3

，∴B=

π

3

-C，0＜C＜

π

3

．
2

3

cos2

C

2

-sin(

4π

3

-B)=2

3

×

1+cosC

2

+sin(

π

3

-B)
=

3

+2sin(C+

π

3

)．（8分）
∵0＜C＜

π

3

，∴

π

3

＜C+

π

3

＜

2π

3

，
∴當(dāng)C+

π

3

=

π

2

，2

3

cos2

C

2

-sin(

4π

3

-B)取最大值2+

3

，
解得B=C=

π

6

．（12分）

點評：本題借助向量的數(shù)量積考查余弦定理以及三角函數(shù)的最值，考查計算能力．