Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PQB；
（Ⅱ）點M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；
（Ⅲ）若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接BD．
因為四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，所以△ABD為正三角形．
又Q為AD中點，所以AD⊥BQ．
因為PA=PD，Q為AD的中點，所以AD⊥PQ．
又BQ∩PQ=Q，所以AD⊥平面PQB．
（Ⅱ）當t=

1

3

時，PA∥平面MQB．
下面證明：連接AC交BQ于N，連接MN．
因為AQ∥BC，所以

AN

NC

=

AQ

BC

=

1

2

．
因為PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面MQB∩平面PAC=MN，
所以MN∥PA，
所以

PM

MC

=

AN

NC

=

1

2

，所以PM=

1

3

PC，即t=

1

3

．（9分）
（Ⅲ）因為PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，所以PQ⊥平面ABCD．
以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Q-xyz．
由PA=PD=AD=2，則有A（1，0，0），B(0，

3

，0)，P(0，0，

3

)．
設平面MQB的法向量為

n

=（x，y，z），由

PA

=(1，0，-

3

)，

QB

=(0，

3

，0)且

n

⊥

PA

，

n

⊥

QB

，可得

x- 3 z=0 3 y=0

令z=1，得x=

3

，y=0．
所以

n

=(

3

，0，1)為平面MQB的一個法向量．
取平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
則cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

2×1

=

1

2

，故二面角M-BQ-C的大小為60°．