Question

數列1,1+2,1+2+2²,…,1+2+2²+…+2^n-1,…的前n項和S_n等于(    )

A.2ⁿ                         B.2ⁿ-n                C.2ⁿ⁺¹-n            D.2ⁿ⁺¹-n-2

Answer 1

思路解析:已知條件中給出了數列的通項公式,但形式比較復雜,容易看到其通項是由一個等比數列的前n項和所構成,故可考慮先利用求和公式,將其化簡,然后再考慮求這個數列的前n項和,通過計算后可以發現,要求數列的通項又可以視為一個等差數列的通項與一個等比數列的通項之和,故在求其和的過程中,可以將其視為兩部分,一部分是等差數列的前n項和,而另一部分是等比數列的前n項和,從而將問題解決.

由題意得,該數列的通項公式是a_n=1+2+2²+…+2^n-1==2ⁿ-1,

故S_n=(2¹-1)+(2²-1)+(2³-1)+…+(2ⁿ-1)=(2¹+2²+…+2ⁿ)-n=-n=2ⁿ⁺¹-n-2,

故選D.(注:可以考慮通過取特殊的n值檢驗)

答案:D