Question

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，bsinA=-

3

acosB．
（1）確定角B的大小；
（2）若∠ABC的角平分線BD交線段AC于D，且BD=1，設BC=x，BA=y．
（ⅰ）試確定x與y的關系式；（ⅱ）記△BCD和△ABD的面積分別為S₁、S₂，問當x取何值時，

1

S12

 +

1

S22

 的值最小，最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理得到bsinA=asinB，與題中的等式加以比較得sinB=-

3

cosB，可得tanB=-

3

，結合0＜B＜π，可得B=

2π

3

；
（2）（i）根據B=

2π

3

且BD平分角∠ABC，得到∠ABD=∠CBD=

π

3

，由S_△ABC=S_△BCD+S_△ABD利用三角形的面積公式，可得關于x、y的等式，化簡整理可得xy=x+y，即為所求x與y的關系式；
（ii）利用三角形的面積公式算出S₁=

3

4

x，可得

1

S12

 =

16

3x2

，同理可得

1

S22

 =

16

3y2

．由此得到用x、y表示

1

S12

 +

1

S22

 的式子，化簡得

1

S12

 +

1

S22

 

1

x2

+

1

y2

）=

16

3

(1-

2

xy

)．再根據xy=x+y利用基本不等式算出xy≥4，代入前面的表達式，即可得到當x=2時

1

S12

 +

1

S22

 的值最小為

8

3

．

解答：解：（1）∵在△ABC中，根據正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，
∴bsinA=asinB．
又∵由已知得bsinA=-

3

acosB，
∴sinB=-

3

cosB，可得tanB=-

3

，
∵在△ABC中，0＜B＜π，∴B=

2π

3

；
（2）（ⅰ）∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD=

π

3

．
∵S_△ABC=S_△BCD+S_△ABD，BD=1、BC=x且BA=y．
∴

1

2

xy•sin

2π

3

=

1

2

x•sin

π

3

+

1

2

xy•sin

π

3

，
即

1

2

xy•

3

2

=

1

2

x•

3

2

+

1

2

y•

3

2

，化簡得xy=x+y，即為所求x與y的關系式；
（ⅱ）由（i）可得：在△BCD中，S₁=

1

2

×1×x×

3

2

=

3

4

x，
∴S₁²=

3

16

x²，可得

1

S12

 =

16

3x2

．同理可得

1

S22

 =

16

3y2

．
∴

1

S12

 +

1

S22

 =

16

3

×(

1

x2

+

1

y2

）
=

16

3

×

x2+y2

(xy)2

=

16

3

×

(x+y)2-2xy

(xy)2

=

16

3

×

(xy)2-2xy

(xy)2

=

16

3

(1-

2

xy

)．
又∵x＞0，y＞0．∴xy=x+y≥2

xy

當且僅當x=y時等號成立．
由此可得

xy

≥2即xy≥4．
∴

1

xy

≤

1

4

，可得-

2

xy

≥-

1

2

，整理得1-

2

xy

≥

1

2

．
因此，

1

S12

 +

1

S22

 =

16

3

×(1-

2

xy

)≥

16

3

×

1

2

=

8

3

又∵當x=y時，△ABC為等腰三角形，∴此時∠A=∠C=

π

6

∴在△BCD中，∠BDC=

π

2

，∠C=

π

6

，∴BC=2BD=2，可得x=2
綜上所述，當x=2時，

1

S12

 +

1

S22

 的值最小為

8

3

．

點評：本題給出△ABC中滿足的邊角關系式，求角B的大小并依此求關于三角形的面積式子的最小值．著重考查了正弦定理、同角三角函數的關系、利用基本不等式求最值和解三角形的應用等知識，屬于中檔題．