Question

如圖所示，平面，四邊形為正方形，且，分別是線段的中點.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求三棱錐與四棱錐的體積比.

Answer 1

（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）見解析；（Ⅲ）三棱錐與四棱錐的體積比

試題分析：（Ⅰ）通過證明,,從而有,然后由直線和平面平行的判定定理可得平面；（Ⅱ）利用直線和平面垂直的性質定理可得AE⊥DH，再證DH⊥AG，由直線和平面垂直的判定定理可得平面；（Ⅲ）由已知可得，，所以，此問注意直線和平面關系的運用和體積的轉化.
試題解析：（Ⅰ）分別為中點，所以AD∥EF，∵BC∥AD, ,∴BC∥EF．．．．2分

∥平面EFG．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DH ，即 AE⊥DH．．．．．．．．．．
∵△ADG≌△DCH ，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°
∴∠AGD+∠HDC=90°
∴DH⊥AG
又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面AEG．．．．．．．．．．．．8分
（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，得，又，所以平面，
所以，
又
所以   ．．．．．．．．．12分