【題目】已知
為實常數，函數
.
（1）若
在
是減函數，求實數
的取值范圍；
（2）當
時函數有兩個不同的零點
，求證：
且
.（注：
為自然對數的底數）；
（3）證明
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】分析：(1) 因
，則
，又
在
是減函數所以
在
時恒成立，則實數
的取值范圍為
；(2)先證明下當
時，
，由（1）知，則在
內單調遞增，在
內單調遞減，由
，得
.所以
，
；（3）由（1）知當
時，
，當
時，有
，即
，累加可得結果.
詳解：（1）因，則
，又
在
是減函數所以
在
時恒成立，則實數
的取值范圍為
（2）因當
時函數
有兩個不同的零點
，則有
，
則有
.設
. 
.
當 時，
；當
時，
；
所以
在
上是增函數，在
上是減函數. 最大值為
.
由于
，且
，所以
，又
，所以
.
下面證明：當時， .設
，
則
.
在
上是增函數，
所以當時，
.即當時，..
由
得
.所以
.
所以
，即
，
，
.
又
，所以
，
.
所以
.而
，則有
.
由（1）知，則在
內單調遞增，在
內單調遞減，
由，得.所以， .
（3）由（1）知當
時，
在上是減函數，且
所以當時恒有
，即
當
時，有
，即
，
累加得：
（）
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】據監測，在海濱某城市附近的海面有一臺風. 臺風中心位于城市
的東偏南
方向、距離城市
的海面
處，并以
的速度向西偏北
方向移動（如圖示）.如果臺風侵襲范圍為圓形區域，半徑
，臺風移動的方向與速度不變，那么該城市受臺風侵襲的時長為_____ .
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面四邊形ABCD中，AD=1，CD=2，AC= 
． 
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD=﹣ 
，sin∠CBA= 
，求BC的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數如下表：
高一年級 | 高二年級 | 高三年級 | |
女生 | 373 | x | y |
男生 | 377 | 370 | z |
已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.19.
（1）求
的值；
（2）現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應該在高三年級抽取多少名？
（3）已知
，
，求高三年級中女生比男生多的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數
的一段圖象過點
，如圖所示．
（1）求函數
的表達式；
（2）將函數
的圖象向右平移
個單位，得函數
的圖象，求的最大值，并求出此時自變量
的集合，并寫出該函數的增區間．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為
.
（Ⅰ）設
表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量
的分布列和數學期望；
（Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中，正確的命題的序號為__________．
①已知隨機變量服從二項分布
，若
，
，則
；
②將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差恒不變；
③設隨機變量
服從正態分布
，若
，則
；
④某人在
次射擊中，擊中目標的次數為
，
，則當
時概率最大.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2002年北京國際數學家大會會標，是以中國古代數學家趙爽的弦圖為基礎而設計的，弦圖用四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形
如圖
，若大、小正方形的面積分別為25和1，直角三角形中較大銳角為
，則
等于
A. 
B. 
C. 
D. 
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