Question

已知

a

=（sinx，cosx+1），

b

=（cosx，cosx-1），f（x）=

a

•

b

（x∈R）
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調區間；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，求函數f（x）的最值及相應的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用數量積公式求出函數f（x），然后利用三角公式進行化簡，利用三角函數的性質求f（x）的最小正周期和單調區間；
（2）利用三角函數的性質求函數f（x）的最值及相應的x的值．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=（sinx，cosx+1）•（cosx，cosx-1）=sinxcosx+cos²x-1=

1

2

sinx2x+

1

2

cos2x-

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)-

1

2

．
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得-

3

8

π+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ，k∈Z，
即單調遞增區間：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z
單調遞減區間：[

π

8

+kπ，+

5π

8

+kπ]，k∈Z．
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，則2x+

π

4

∈[-

π

12

，

5π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)-

1

2

∈[-1，

2 -1

2

]．
即f（x）的最大值是

2 -1

2

，此時x=

π

8

；
f（x）的最小值是-1，此時x=

π

2

．

點評：本題主要考查數量積的公式以及三角函數的圖象和性質，考查學生的運算能力．要求熟練掌握三角函數的圖象和性質．