Question

已知雙曲線的離心率
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）把點P代入雙曲線方程，求得a和b的關系，進而根據離心率聯立方程求得a和b，雙曲線方程可得．
（II）直線與雙曲線方程聯立消去y，根據判別式大于0，求得k的范圍．設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），根據韋達定理可求得x．_A+x_B和x_Ax_B的表達式，根據，求得k的另一個范圍，最后綜合可得答案．
解答：解：（I）由已知，
∵，
∴
又c²=a²+b²，
可解得a²=3，b²=1．
所求雙曲線C的方程為
（II）將
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得

即①
，


=，

可得．②
由①，②得．
故k的取值范圍為．
點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程和平面向量數量積得運算．考查了學生解決問題的能力和基本的運算的能力．