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已知雙曲線的離心率等于2,且與橢圓
x2
25
+
y2
9
=1有相同的焦點,求此雙曲線方程.
分析:由橢圓的性質,可得橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的焦點坐標,設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0),則可得c=4,又由雙曲線的離心率可得a的值,進而可得b,將a、b的值代入雙曲線方程可得答案.
解答:解:∵橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的焦點坐標為(-4,0)和(4,0),
則可設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0),
∵c=4,又雙曲線的離心率等于2,即
c
a
=2,
∴a=2.
∴b2=c2-a2=12;
故所求雙曲線方程為
x2
4
-
y2
12
=1.
點評:本題考查雙曲線的標準方程以及橢圓的簡單幾何性質,注意區分并記憶橢圓、雙曲線的幾何性質及標準方程的形式.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知雙曲x+y+1=0的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合,且雙曲線的離心率等
5
,則該雙曲線的方程為( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•廣州一模)已知點F1、F2分別是雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
的兩個焦點,過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線C交于A、B兩點,若△ABF2為等邊三角形,則該雙曲線的離心率e=( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•臨沂一模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數關系,直線l:x-y+
2
=0
與以原點為圓心,以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設M是橢圓的上頂點,過點M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點,設兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=4,證明:直線AB過定點(-
1
2
,-1).

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科目:高中數學 來源: 題型:044

已知雙曲線的離心率,左、右焦點分別為、,左準線為l,能否在雙曲線的左支上找到一點P,使得Pl的距離d的等比中項?

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