Question

【題目】已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，沿對角線AE將△FAE的頂點F翻折到點P處，使得 ．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCDE；
（2）求二面角B﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結AC，EC，取AE中點O，連結PO，CO，

由已知得PE=PA=2，AE=AC=EC= = ，

∴PO⊥AE，CO⊥AE，∴∠POC是二面角P﹣AE﹣C的二面角，

∴PO= =1，CO= =3，∴PO2+CO2=PC2，

∴PO⊥CO，∴∠POC=90°，∴平面PAE⊥平面ABCDE

（2）證明：解：以O為原點，OA為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，

P（0，0，1），C（0，3，0），B（ ，2，0），D（﹣ ，2，0），

=（ ）， =（0，3，﹣1）， =（﹣ ），

設平面PBC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1， ，3 ），

設平面PCD的法向量 =（a，b，c），

則 ，取b=1，得 =（﹣ ，1，3），

設二面角B﹣PC﹣D的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角B﹣PC﹣D的平面角的余弦值為 ．

【解析】（1）連結AC，EC，取AE中點O，連結PO，CO，推導出PO⊥AE，CO⊥AE，則∠POC是二面角P﹣AE﹣C的二面角，求出PO⊥CO，由此能證明平面PAE⊥平面ABCDE．（2）以O為原點，OA為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的平面角的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．