Question

已知函數f（x）=

3

cos²x+

1

2

sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據二倍角的余弦、兩角和的正弦公式化簡解析式，再求出函數的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范圍求出“2x+

π

3

”的范圍，再由正弦函數的最值求出此函數的最值，以及對應的x的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，f(x)=

3 (1+cos2x)

2

+

1

2

sin2x
=

3

2

cosx+

1

2

sin2x+

3

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

 
則f（x）的最小正周期T=π                                                                
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

4

，∴0≤2x+

π

3

≤

5π

6

，
當2x+

π

3

=

π

2

時，即x=

π

12

時，f（x）的最大值為1+

3

2

，
當2x+

π

3

=0時，即x=-

π

6

時，f（x）的最小值為

3

2

．

點評：本題考查了二倍角的余弦、兩角和的正弦公式，以及正弦函數的最值的應用，考查了整體思想．