Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）；以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）若把曲線各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標變為原來的，得到曲線，求曲線的方程；

（Ⅲ）設為曲線上的動點，求點到曲線上點的距離的最小值，并求此時點的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,.

（Ⅱ）.

（Ⅲ） ，此時 的坐標為.

【解析】分析：（Ⅰ）直接消參得到直角坐標方程，利用極坐標公式把極坐標化成直角坐標方程.( Ⅱ)利用伸縮變換公式求曲線的方程.( Ⅲ) 設橢圓上的點,再求d的表達式，最后利用三角函數的圖像性質求點到曲線上點的距離的最小值，并求此時點的坐標.

詳解：（Ⅰ）由曲線：（）得（為參數）,

∴，

即為曲線的普通方程.

由曲線 ，得，

∴即為的直角坐標方程.

（Ⅱ）依題意，設是曲線上任意一點，對應曲線上的點為，

則有， ∴ .

∵ : ，∴.

即所求曲線的方程為.

（Ⅲ）易知，橢圓與直線無公共點，設橢圓上的點，

從而點到直線的距離為

∴當時，，

此時，，∴點的坐標為.