Question

已知函數f（x）=e^x-x²+ax-1．
（1）過原點的直線與曲線y=f（x）相切于點M，求切點M的橫坐標；
（2）若x≥0時，不等式f（x）≥0恒成立，試確定實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設切點為（x₀，y₀），則直線l的斜率為f'（x₀）=e^x-2x+a，從而求得直線l的方程，有條件直線1過原點可求解切點坐標．
（2）由導數的知識得出當x=ln2時，f'（x）=e^x-2x+a取得最小值，下面只要e^x-2x+a≥2-2ln2+a恒成立即可，等價于e^x-2x+a在定義域上的最小值大于2-2ln2+a即可．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-x²+ax-1，∴f'（x）=e^x-2x+a，
∴k=f′(x0)=ex0-2x0+a=

ex0-x02+ax0-1

x0

，

∴x0ex0-2x02+ax0=ex0-x02+ax0-1， ∴(x0-1)(ex0-x0-1)=0，

∴x₀=1或x₀=0（4分）
（2）∵f'（x）=e^x-2x+a，∴f''（x）=e^x-2=0，x=ln2，
可知，當x=ln2時，∵f'（x）=e^x-2x+a取得最小值，
即f'（x）=e^x-2x+a≥2-2ln2+a，
①當a≥2ln2-2時，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在R上為增函數，
又∵f（0）=e⁰-1=0，∴f（x）≥0恒成立．
2當a＜2ln2-23時，f'（x）=e^x-2x+a=04有兩不等根x₁＜ln2＜x₂5，
則x∈（x₁，x₂），f'（x）＜0，x∈（x₂，+∞），f'（x）＞0，
當x=x₂時f（x）取到極小值，∴f(x2)=ex2-x22+ax2-1≥0，
又f′(x2)=ex2-2x2+a=0，即a=-ex2+2x2，∴ax2=-x2ex2+2x22，
∴ex2-x22-x2ex2+2x22-1=(1-x2)ex2+x22-1=(1-x2)(ex2-x2-1)≥0，
∵ex2-x2-1≥0，∴l(xiāng)n2＜x₂≤1，∴a=-ex2+2x2∈[-e+2，2ln2-2)，
由①②知實數a的取值范圍是a≥2-e．（12分）

點評：本題考查導數在研究函數的單調性、最值和中的應用，考查等價轉化的思想方法以及分析問題的能力．本題的第二問實際上是e^x-2x+a≥2-2ln2+a恒成立，關鍵是利用分離參數構造函數進行解答．