Question

已知雙曲線的離心率且點在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記O為坐標原點，過點Q （0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）由已知可知雙曲線為等軸雙曲線，則a=b，
所以，雙曲線方程為x²-y²=a²，
又點在雙曲線C上，∴，
解得a²=2，b²=2，
所以，雙曲線C的方程為；
（2）由題意直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y=kx+2
由得 （1-k²）x²-4kx-6=0，
設直線l與雙曲線C交于E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），則x₁、x₂是上方程的兩不等實根，
∴1-k²≠0，且△=16k²+24（1-k²）＞0，即k²＜3且k²≠1①，
這時 ，
又
即 ，∴．
整理得3-k²=（k²-1）²，即k⁴-k²-2=0，∴（k²+1）（k²-2）=0
又k²+1＞0，∴k²-2=0，∴，適合①式．
所以，直線l的方程為與．
分析：（1）由雙曲線的離心率可知雙曲線為等軸曲線，然后把給出的點的坐標代入雙曲線方程可求a²的值，則雙曲線方程可求；
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設直線方程的斜截式，和雙曲線方程聯立后化為關于x的一元二次方程，再設出兩交點的坐標E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），利用根與系數關系求出 ，，利用△OEF的面積為求解k的值，則直線l的方程可求．
點評：本題考查了雙曲線標準方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的關系，采用了設而不求的解題方法，該方法的核心是二次方程中根與系數的關系，解答此題的關鍵是把△OEF的面積用含有k的代數式表示，從而求出k的值．此題是中高檔題．