Question

已知（1+3x）ⁿ的展開式中，末三項的二項式系數的和等于121，求展開式中系數最大的項．

Answer 1

【答案】分析：利用二項式系數為C_n^r，列出方程求出n值，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，利用展開式中最大的系數大于它前面的系數同時大于它后面的系數求出展開式中系數最大的項．
解答：解：∵末三項的二項式系數分別為C_n^n-2，C_n^n-1，C_nⁿ
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=121
∴C_n²+C_n¹+C_n=121即n²+n-240=0
∴n=15或n=-16（舍）
∴T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
設第r+1項與第r項的系數分別為t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₅^r3^r，t_r=C₁₅^r-13^r-1
∴t_r+1≥t_r則可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴當r取小于12的自然數時，都有t_r＜t_r+1當r=12時，t_r+1=t_r
∴展開式中系數最大的項為T₁₂=C₁₅¹¹3¹¹x¹¹和T₁₃=C₁₅¹²3¹²x¹²
點評：本題考查二項展開式中的系數最大的項的求法：利用最大的系數大于它前面的系數同時大于它后面的系數來求．